2025上海執法類公務員考試：關于容斥原理的解讀

數量關系涵蓋的題型很廣泛，是同學們比較頭疼的部分。考試時很有可能出現花了時間，卻還不能得出正確答案的情況。所以這部分一定要有選擇性地作答，同學們可以選取難度較低或者比較常見的一類題型，這樣才能在較短時間能盡可能多拿分。今天就讓我們來了解下容斥問題。

容斥問題是一種計數問題，用于解決多個集合之間有重疊時的計數問題。一般涉及兩者容斥和三者容斥以及容斥極值問題。在作答時可以采用畫文氏圖或者結合基礎公式的方法。

一、兩者容斥：

注：I：全集都不：既沒有A又沒有B

I=A∪B+都不

=A+B-A∩B+都不

二、三者容斥：

注：I：全集都不：既沒有A又沒有B又沒有C

I=A∪B∪C+都不

=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不

=A+B+C-只屬于兩個集合的元素-2×屬于三個集合的元素+都不

=只屬于一個集合的元素+屬于兩個集合的元素+屬于三個集合的元素+都不

三、容斥極值：

兩者容斥極值：(A∩B)min = A+B-I

三者容斥極值：(A∩B∩C)min = A+B+C-2I

以此類推……

【例1】某單位 65 名職工中，擁有甲、乙、丙三項認證中至少一項的職工正好占 80%，沒有甲認證的職工與有乙認證的職工人數一樣多，僅有丙認證的職工有 3 人，三項認證都有的職工有 6 人，問有多少人僅擁有甲、乙兩項認證?

A.10 B.13 C.16 D.19

【答案】A。

【解析】

根據題干信息，可梳理上述文氏圖。設僅有甲、乙的人數為x，僅有乙、丙的人數為y，僅有乙的人數為z。三項認證中至少一項的職工正好占 80%，即65·80%=52，一項都沒有的為65·20%=13。根據“沒有甲認證的職工與有乙認證的職工人數一樣多”建立等量關系。沒有甲的人為y+z+3+13，有乙的人為x+y+z+6。y+z+3+13=x+y+z+6，解得x=10。即僅有甲、乙的人數為10。故正確答案為A。

【例2】某單位共有 240名員工,其中訂閱A期刊的有125人,訂閱B期刊的有126人,訂閱 C期刊的有 135 人,訂閱 A、B期刊的有 57 人,訂閱 A、C期刊的有 73 人，訂閱3種期刊的有 31人,此外,還有17人沒有訂閱這三種期刊中的任何一種。問:訂閱BC 期刊的有多少人?

A.57 B.64 C.69 D.78

【答案】A。

【解析】根據題干信息，可確定考查三者容斥。題干分別給到I：240，A：125，B：126, C：135 ，A∩B：57 ，A∩C：73 人，A∩B∩C：31，都不：17人。求B∩C。可利用公式“I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不”求解。代入240=125+126+135-57-73-B∩C+31+17，解得B∩C=64。故正確答案為B。

容斥問題是比較簡單的一類題型，絕大部分容斥問題可以采用上述兩種方法求解。如果給出的信息較為復雜或者不太常見，在作答時可根據題干給出的條件，可結合文氏圖與方程法，靈活作答。

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